Question

证明不等式：sinx>2x/11(0<x>兀)

Answer 1

楼主忘了说x∈(0，π/2)
分两部分证明，先证明左半部分，再证明右半部分。
x>sinx，x-sinx>0，函数x-sinx的导数是1-cosx>0
所以函数x-sinx是增函数，在x趋近0的时候有最小值0，所以在区间内是>0的。
sinx-2x/π>0，函数sinx-2x/π的导数是cosx-2/π，当cosx=2/π时函数有最大值，左边端点处和右边端点处都>0，所以不等式成立。

Answer 2

设函数y1=sinx,
y2
=x,x∈(0,π/2)
求导
y1'=cosx,x∈(0,π/2),可知y1'∈(0,1)
y2'=1
∴y1'＜y2',即在(0,π/2)上,y1=sinx的斜率始终小于y2=x的斜率
又∵当x=0时,y1=sin0=0,y2=x=0即y1与y2的左端点相同,且y1=sinx,y2=x在(0,π/2)上单调递增
∴在(0,π/2)上,y1的图象始终在y2的下方
∴sinx＜x,x∈(0,π/2)