Question

若一次函数f(x)满足f[f(x)]=1+2x,则f(x)=

Answer 1

一次函数
设为f(x)=kx+b
则f[f(x)]=k(kx+b)+b=2x+1
k^2x+(kb+b)=2x+1
所以k^2=2
kb+b=1
k=√2,k=-√2
b=1/(k+1)
k=√2,b=√2-1
k=-√2,b=-√2-1
所以f(x)=√2*x+√2-1
或f(x)=-√2*x-√2-1

Answer 2

设f(x)＝ax+b
则f[f(x)]＝f(ax+b)=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b
又因为f[f(x)]=1+2x
所以a^2x+ab+b=1+2x
所以a^2=2,ab+b=1
即
a=根号2，b=（根号2）-1或
a＝-（根号2）,b=-（根号2）-1

Answer 3

不妨设该一次函数为f(x)=ax+b
f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b=1+2x
a^2=2 、ab+b=1
解得 a= ±√2, b=1/(1±√2)=-(1±√2)
解有两个： f(x)=√2x+√2-1 或 f(x)=-√2x - √2-1