Question

如图 在三角形abc中 角ACB=90度,D是边AB上一点且角A=2角DCB,E是BC边上的一点,以EC为直径的圆O经过点D,

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D． （1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC=20， tan∠DCB=2/5,那么EC为多少？

Answer 1

1. （1）易知OD=OC（以EC为直径的⊙O经过点D，OD,OC为半径）
         所以 ∠BOD=2∠DCB，所以△BOD和△ABC相似，所以∠BDO=90
   
   （2）连接AO，和CD相交与点F，易知∠OFD=90，F为线段CD中点，OF为CD弦心距
              所以ED=2OF=2
   
           BE=ED,所以 ∠EBD= ∠BDE，所以∠EBD+∠EDO=90
   
          又OD=OE，所以∠EBD+∠DEO=90，所以∠DEO = ∠BAC
   
          又∠DEO+∠DCE=90，∠DCE+∠DCA=90，所以∠DEO = ∠DCA
   
          所以△ACD为等边三角形，所以BE=ED=EO=OD=2，所以BD=2√3
   

Answer 2

25年前学过，早忘光了！