Question

已知二次函数f(x)=x^2+2bx+c,（b,c属于R），满足f(1)=0

且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)
若函数F(x)=logbf（x)在区间（-1-c,1-c)上。具有单调性，求c的范围。若f(x)<=0的解集为{x|-1<=x<=1},求b,c的值

Answer 1

f(1)=1+2b+c=0
①
1.设g(x)=f(x)+x+b=x^2+(2b+1)x+b+c,关于x的方程g(x)=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)，即函数 g(x)=x^2+(2b+1)x+b+c与x轴交点在(-3,-2),(0,1)内
g(1)=1+2b+1+b+c>0 ②
g(0)=b+c<0

③
g(-2)=4-4b-2+b+c<0 ④
g(-3)=9-6b-3+b+c>0 ⑤
联立①②③④⑤，解得1/5<b<5/7,-17/7<c<-7/5
函数F(x)=logbf（x)在区间（-1-c,1-c)上具有单调性
f(x)对称轴为x=-2b/2=-b 结合函数的图像
-b=<-1-c,f(1-c)=2c^2-c>0(F(x)为减函数，因为此时f(x)为增函数，由复合函数增减性判断可得这两个式子）解得c<=-1
或-b>=1-c,f(-1-c)=(c+2)(2c+1)>0(F(x)为减函数，因为此时f(x)为减函数，由复合函数增减性判断可得这两个式子）解得c>=1/3
而-17/7<c<-7/5，可知-17/7<c<-7/5
所以c的范围-17/7<c<-7/5
2.f(x)<=0的解集为{x|-1<=x<=1}
结合二次函数的图像，可知
f(1)=1+2b+c=0
f(-1)=1-2b+c=0
解，得b=0,c=-1
所以b,c的值分别为0，-1