Question

求高次有理分式不定积分

Answer 1

如图所示：

多项式除法最好用了，然后凑微分即可.

追问

有没有其他思路方法，这个长除法没学过。

追答

这个方法吧，是长了点，但每步都是一样的

其实就是因式分解把分母那个因子归纳一起而已

Answer 2

朋友，你好！直接慢慢凑即可，详细过程rt，希望能帮到你解决问题

Answer 3

过程如下，本质上是将次分解简单化，用到了基本积分。反函数积分以及对数函数积分这三个。计算过程要仔细认真，答案应该是这样的没计算失误的话，望采纳一下哈

Answer 4

x^4 +2x^3 +2x+1
=x^2.(x^2+x+1) +x^3-x^2+2x+1
=x^2.(x^2+x+1) +x(x^2+x+1) -2x^2+x+1
=x^2.(x^2+x+1) +x(x^2+x+1) -2(x^2+x+1)+3x+3
(x^4 +2x^3 +2x+1)/(x^2+x+1)
=x^2+x -2 + (3x+3)/(x^2+x+1)
∫(x^4 +2x^3 +2x+1)/(x^2+x+1) dx
=∫[x^2+x -2 + (3x+3)/(x^2+x+1)] dx
=(1/3)x^3+(1/2)x^2-2x +∫ (3x+3)/(x^2+x+1) dx
=(1/3)x^3+(1/2)x^2-2x +(3/2)∫ (2x+1)/(x^2+x+1) dx +(3/2)∫ dx/(x^2+x+1)
=(1/3)x^3+(1/2)x^2-2x +(3/2)ln|x^2+x+1| +(3/2)∫ dx/(x^2+x+1)
=(1/3)x^3+(1/2)x^2-2x +(3/2)ln|x^2+x+1| +(3/2)∫ dx/[ (x+1/2)^2 +3/4]
=(1/3)x^3+(1/2)x^2-2x +(3/2)ln|x^2+x+1| +2∫ dx/{ 1+ [(2/√3)(x+1/2)]^2 }
=(1/3)x^3+(1/2)x^2-2x +(3/2)ln|x^2+x+1| +√3arctan[(2/√3)(x+1/2)] +C

追问

请问处理这个高次有理分式求不定积分的思路是怎么样的，怎么着手的，从那几个方面考虑的。请详细说明一下

追答

(x^4 +2x^3 +2x+1)/(x^2+x+1)
用长除法 变成
x^2+x -2 + (3x+3)/(x^2+x+1)
分子的阶数少于分母的阶数
余下要考虑的是
(3x+3)/(x^2+x+1)
可变成 (c1.f'(x)+ c)/f(x) : f(x) =(x^2+x+1)
积分后变成 c1.ln|f(x)| +∫ c/(x^2+x+1) dx
在看看f(x) 是什么，例子可变成∫ du/(1+u^2) 的形式，那问题完整解决！

追问

我第一次知道长除法，无奈此前从未听说过和学过。不过这是分式因式分解的方法之一。。。
请问有没有其他方法解决类似高次多项式的方法或给从另一种方法处理这道题。。。

Answer 5

分离系数作多项式除法。
1 2 0 2 1 |1 1 1

1 1 1................——————
———————..1 1 -2
.....1 -1 2
......1 1 1
——————
...........-2 1 1
..........-2 -2 -2
————————
....................3 3
所以原式=∫{x^2+x-2+(3x+3/2)/(x^2+x+1)+(3/2)/[(x+1/2)^2+3/4]}dx
=(1/3)x^3+(1/2)x^2-2x+(3/2)ln(x^2+x+1)+√3arctan[(2x+1)/√3]+c.