Question

当令u=y/x,为什么dy/dx=u+xdu/dx？

Answer 1

当令u=y/x，dy/dx=u+xdu/dx的原因：

u=y/x

y=xu

dy=xdu+udx

dy/dx=xdu/dx+u

这是微分方程中对奇次函数的没兄亩一般解法。奇次方程是指分子、分母中各项的x次幂与y次幂之和相同。在这样的情况下的特别解法是零u=y/x，也就是y=ux。

求通解

在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某枯森些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

后尘清来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。