Question

关于matlab的积分问题，积不出来怎么办

syms x;
>> y=3251*exp(-(x-8555)^2/2550^2)+378.4*exp(-(x-1.178e+004)^2/1281^2)+ 5.157e+017*exp(-(x-5.89e+005)^2/1.007e+005^2)

y =

515700000000000000/exp((x - 589000)^2/10140490000) + 1892/(5*exp((x - 11780)^2/1640961)) + 3251/exp((x - 8555)^2/6502500)
>> int(sqrt(diff(y,x)^2+1),x)
Warning: Explicit integral could not be found.
> In sym.int at 64

ans =

int((((515700000000000000*(x/5070245000 - 31/266855))/exp((x - 589000)^2/10140490000) + (1892*((2*x)/1640961 - 23560/1640961))/(5*exp((x - 11780)^2/1640961)) + (3251*(x/3251250 - 1711/650250))/exp((x - 8555)^2/6502500))^2 + 1)^(1/2), x)
积不出来怎么办

Answer 1

像这类曲线积分的表达式很难求出解析表达式的，没有办法。

 

从计算定积分的角度来说，你没必要过于纠结解析表达式，其实只要知道这是一个函数，只要给定了自变量，都能够求出函数值来，就够了。例如，按照你的要求，上限是一个具体的数例如8133.2，但下限是a，那么我们就可以定义一个匿名函数J(a)：

syms x;
y=3251*exp(-(x-8555)^2/2550^2)+378.4*exp(-(x-1.178e+004)^2/1281^2)...
    + 5.157e+017*exp(-(x-5.89e+005)^2/1.007e+005^2);
b = 8133.2;
J = @(a) quadl( @(t) subs(sqrt((diff(y,x))^2+1),x,t), a, b);

然后，只要你指定a的值，就可以计算出定积分的结果来，例如

>> J(7500)
ans =
  842.4111

追问

J = @(a) quadl(@(t)subs(sqrt((diff(y,x))^2+1),x,t),a,b)
这句是什么意思

追答

我把这句分解开解释：

 

首先，这一句

subs(sqrt((diff(y,x))^2+1),x,t)

应该不难懂吧？曲线积分的微元是关于x的函数，将x替换成变量t。注意：x是符号变量，而t可以是一个数值类型的量，相应的，返回的结果也会是数值类型。

 

然后，往外一层，定义一个匿名函数（自变量为t）

@(t)subs(sqrt((diff(y,x))^2+1),x,t)

函数的参数是t，这样，就把原来的符号表达式转换成了数值表达式（与t的数值有关）。

 

再向外一层，又定义一个关于积分下限a的匿名函数

J = @(a) quadl(@(t)subs(sqrt((diff(y,x))^2+1),x,t),a,b)

也就是，对于上面的关于t的函数进行积分，积分限为a和b，其中b由前面的赋值语句给定，而a则是匿名函数的参数——要理解这个概念：定义一个匿名函数，就意味着匿名函数的参数对于函数内部来说是已知的量。

 

其实，匿名函数和普通函数的作用一样，只不过，其定义形式更为简单（不需要function声明），而且，可以在脚本中使用，这对于不存在复杂逻辑判断的表达式来说是非常方便的。我在最近回答你的提问时多次用到了匿名函数，如果不搞清楚这个概念，我写的那些代码你是很难看懂的。

Answer 2

你的积分表达式太复杂了，sqrt(diff(y,x)^2+1)的符号表达式有很多项，非线性特别强，matlab无法求出的符号解，在这种情况下，只能先求出sqrt(diff(y,x)^2+1)的符号表达式，然后转换为函数表达式，再用数值解法求解。
例如，我修改建议如下：
syms x;
y=3251*exp(-(x-8555)^2/2550^2)+378.4*exp(-(x-1.178e+004)^2/1281^2)+ 5.157e+017*exp(-(x-5.89e+005)^2/1.007e+005^2);
y1=sqrt((diff(y,x))^2+1)
y2=inline(y1)
quad(y2,0,1)

再0-1内的定积分结果：
ans =
1.0035

希望对你有帮组

追问

我可不可以上限是一个具体的数，不如说：8133.2，但下限是a，想求出表达式可以吗

追答

数值积分不能带有变量符号。
主要是这个表达式sqrt((diff(y,x))^2+1)，太复杂，
y1 =

(((515700000000000000*(x/5070245000 - 31/266855))/exp((x - 589000)^2/10140490000) + (1892*((2*x)/1640961 - 23560/1640961))/(5*exp((x - 11780)^2/1640961)) + (3251*(x/3251250 - 1711/650250))/exp((x - 8555)^2/6502500))^2 + 1)^(1/2)

matlab对x积分积不出符号解，我也给你试过了，int解不出，数值解是一种近似解，只能是具体的数值