Question

一道数学题

2013重庆中考数学B卷26题解法，求过程

26.已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。如图①，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上.如图②，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ.当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动.设运动时间为 t 秒，解答下列问题：
（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求 t 的值；
（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围。

Answer 1

解：

1） ∵ 开始时刻G在线段DE上

　　∵ 内错角∠MGN=∠AED=90°

　　∴ AE//GM

　　∴ 同位角∠GMN=∠AEB

　　则当G在线段AE上时，点E和点M应该是重合的

　　∴ 三角形GEM运动的距离应该是线段MN的长度

　　由勾股定理

　　MN=√(GM^2+GN^2)=√(8^2+6^2)=10

　　则t=10

2） 首先我们看t时刻时EQ的长度

　　∵ AE//MG

　　∴ NE：NM=EQ：GM

　　∴ EQ：NE=GM：NM=8:10

　　即EQ=0.8NE=0.8t

　　由勾股定理

　　AE=√(AB^2+BE^2)=√(12^2+16^2)=20

　　则AQ=AE-EQ=20-0.8t

　a) 若AP=AQ，

　　则有t=20-0.8t

　　t=100/9

　　此时t<16，N尚未运动到B点，满足题意

　b) 若AP=PQ，过点Q作QH⊥AD于H，如图

　　等腰三角形三线合一，则H为底边AP中点

　　∵ AD//BC

　　∴ 内错角∠PAE=∠AEB

　　又∵ ∠GMN=∠AEB

　　∴ ∠PAE=∠GMN

　　∴ RtΔAQH相似于RtΔMNG

　　∴ AH：AQ=MG：MN=8:10

　　则AH=0.8AQ，AP=2AH=1.6AQ

　　则t=1.6×(20-0.8t)=32-1.28t

　　t=32/2.28=800/57

　　此时t<16，N尚未运动到B点，满足题意

3）我们根据N、M与E、F、B的关系进行分段讨论

　a) 当NE≤EF，即t≤7时，此时N在E和F之间，M在E右侧，如图

　　重合部分面积为RtΔNEQ

　　∵ AE//GM

　　∴ RtΔNEQ相似于RtΔNMG，

　　∴ SΔNEQ：SΔNMG=(NE：NM)^2=t^2：100

　　而SΔNMG=(NG·MG)/2=(6×8)/2=24

　　则此时SΔNEQ=0.24t^2

　　即S(t)=0.24t^2，(t≤7)

　b) 当EF<NE≤MN，即7<NE≤10时，此时N在F左侧，M在E右侧，如图

　　设AE与GN交点为J，此时重合部分面积S=SΔNEQ-SΔNFJ

　　过点J作JK⊥BC于K

　　则JK//AB

　　∴ RtΔJNK相似于RtΔMNG

　　∴ NK：JK=GN：GM=6：8

　　∴ NK=0.75JK

　　∵ JK//AB

　　∴ FK：JK=FB：AB=9：12

　　∴ FK=0.75JK=NK

　　则NF=1.5JK=NE-EF=t-7，JK=2NF/3

　　SΔNFJ=(NF·JK)/2=(NF^2)/3=[(t-7)^2]/3

　　而根据a)的结论，SΔNEQ=0.24t^2

　　则S=SΔNEQ-SΔNFJ=0.24t^2-[(t-7)^2]/3

　　即S(t)=0.24t^2-[(t-7)^2]/3，(7<t≤10)

　c) 由于BF=9<MN=10

　　∴ 当N从F运动到B时，M始终位于E和F之间，如图

　　此时，MN<NE≤BE，即10<t≤16

　　此时也存在两种情况，即GN与AF相交，或GM与AF相交

　　当GN与AF相交时，如图，设交点为J，此时重合部分面积S=SΔNGM-SΔNFJ

　　过点J作JK⊥BC于K

　　同b)的结论，NF=1.5JK=NE-EF=t-7，JK=2NF/3

　　SΔNFJ=(NF·JK)/2=(NF^2)/3=[(t-7)^2]/3

　　则S=SΔNGM-SΔNFJ=24-[(t-7)^2]/3

　　当G恰好位于线段AF上时，由RtΔGNK相似于RtΔMNG

　　NK：GN=NG：MN=6:10

　　则NK=0.6GN=3.6

　　NF=2NK=7.2

　　NE=NF+EF=14.2

　　则S(t)=24-[(t-7)^2]/3，(10<t≤14.2)

　d) 当GM与AF相交时，如图，设交点为J，此时重合部分面积S=SΔFJM

　　过点J作JK⊥BC于K

　　NE=t

　　NF=NE-EF=t-7

　　FM=MN-NF=10-(t-7)=17-t

　　∵ AE//GM

　　∴ JM：FM=AE：EF=20：7

　　则JM=20FM/7=[20(17-t)]/7

　　RtΔJKM相似于RtΔNGM

　　∴ JK：JM=GN：MN=6：10

　　∴ JK=[12(17-t)]/7

　　则SΔFJM=(FM·JK)/2=[6(17-t)^2]/7

　　即S(t)=[6(17-t)^2]/7，(14.2<t≤16)

　　综上，

　　S(t)=0.24t^2，(t≤7)

　　S(t)=0.24t^2-[(t-7)^2]/3，(7<t≤10)

　　S(t)=24-[(t-7)^2]/3，(10<t≤14.2)

　　S(t)=[6(17-t)^2]/7，(14.2<t≤16)

Answer 2

1.由HL定理，

AB:BE=NG:GM,

∴△ABE相似于△NGM

∴角AEB=角NMG，

∴AE∥GM、

∴当M与E重合，直线MG与直线AE重合，当且仅当此时G在AE上

此时t=MN/v=（6^2+8^2）^(0.5)=10s

2.假设x秒时△APQ为等腰，

则此时AQ=2APsin角PAQ=2APsin角AEB=1.2AP

AQ=AE-EQ=AE-NEcos角AEB=20-0.8x

代入得20-0.8x=1.2x

x=10

易证直角△AEB相似于直角△EDC，

∴EC:CD=AB:BE

∴EC=9

∴x≤EC/v=9

∴x=10不符合题意，x无解

∴不存在这样的等腰三角形

追问

不用相似做，第三问呢！！！

追答

第三问见上图