周长为 2 +1的直角三角形面积的最大值为______．
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设两直角边为a，b，斜边长为c，
则c 2 =a 2 +b 2 ，且a+b+ a 2 +b 2 = 2 +1，
∴ 2 +1=a+b+ a 2 +b 2 ≥2 ab + 2ab =（2+ 2 ） ab ，
即 ab ≤ 2 2 ，当且仅当a=b时取等号．
∴三角形的面积S= 1 2 ab≤ 1 2 × 1 2 = 1 4 ，
即S max = 1 4 ．
故答案为： 1 4 ．
则c 2 =a 2 +b 2 ，且a+b+ a 2 +b 2 = 2 +1，
∴ 2 +1=a+b+ a 2 +b 2 ≥2 ab + 2ab =（2+ 2 ） ab ，
即 ab ≤ 2 2 ，当且仅当a=b时取等号．
∴三角形的面积S= 1 2 ab≤ 1 2 × 1 2 = 1 4 ，
即S max = 1 4 ．
故答案为： 1 4 ．
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