Question

已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b，求椭圆的标准方程

请用“一般式法”求解标准方程

Answer 1

已知椭圆的中心在原点，则其焦点可能在X轴或Y轴上。

一、当焦点在X轴上时，则
a=3，又∵a=3b，则b=1
此时，椭圆的标准方程为X²/9 + Y² = 1

二、当焦点在Y轴上时，则
b=3，又∵a=3b，则a=9，
此时，椭圆的标准方程为 Y²/81 + X²/9 = 1

椭圆的标准方程分为两种情况，(1)当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y²/b²=1，(a>b>0)；（2）当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²=1，(a>b>0)。其中a²-c²=b²。

Answer 2

设椭圆的焦点为F1(h,k),F2(-h,-k),
椭圆过点P(3，0),
∴√[(3-h)^2+k^2]+√[(3+h)^2+k^2]=2a=6b,①
OF1^2=h^2+k^2=8b^2,②
把②代入①，√(9-6h+8b^2)+√(9+6h+8b^2)=6b,
∴√(9-6h+8b^2)=6b-√(9+6h+8b^2),
平方得9-6h+8b^2=36b^2-12b√(9+6h+8b^2)+9+6h+8b^2,
b√(9+6h+8b^2)=3b^2+h,
再平方得b^2(9+6h+8b^2)=9b^4+6b^2h+h^2,
整理得h^2=9b^2-b^4,取h=b√(9-b^2),
代入②，k^2=b^4-b^2,取k=b√(b^2-1),
∴所求椭圆方程是√{[x-b√(9-b^2)]^2+[y-b√(b^2-1)]^2}+√{[x+b√(9-b^2)]^2+[y+b√(b^2-1)]^2}=6b.(1<=b<=3).
条件不足，请补充。

Answer 3