Question

设L为x+y+z＝1与x2+y2+z2＝1的交线 求曲线积分1、∫ (x2+y2+z2)ds

设L为x+y+z＝1与x2+y2+z2＝1的交线 求曲线积分1、∫ (x2+y2+z2)ds，2、∫(xy+yz+zx)ds，3、∫xds
求大神帮忙啊！

Answer 1

L：x + y + z = 1 与 x^2 + y^2 + z^2 = 1的交线
==> L具有轮换对称性。
==> ∮L x^2 ds = ∮L y^2 ds = ∮L z^2 ds
==> ∮L x ds = ∮L y ds = ∮L z ds
1、∮L (x^2 + y^2 + z^2) ds
= ∮L (1) ds
= 2π
2、∮L (xy + yz + zx) ds
= ∮L (1/2)[(x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2)] ds
= ∮L (1/2)(1^2 - 1) ds
= 0
3、∮L x dx = 0 (对称性)
= (1/3)∮L (x + y + z) ds
= (1/3)∮L (1) ds
= 1/3 * 2π(1)
= 2π/3