余弦定理证明是什么?

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晨鑫说民生
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2022-02-01 · 民生问题,晨鑫为您讲解
晨鑫说民生
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余弦定理的推导过程:

1、平面三角形证法

在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,作AD⊥BC于D,则AD=c*sinB,DC=a-BD=a-c*cosB

在Rt△ACD中,

b²=AD²+DC²=(c*sinB)²+(a-c*cosB)²

=c²sin²B+a²-2ac*cosB+c²cos²B

=c²(sin²B+cos²B)+a²-2ac*cosB

=c²+a²-2ac*cosB

2、平面向量证法

有a+b=c(平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|cos(π-θ)

又∵cos(π-θ)=-cosθ(诱导公式)

∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ

此即c²=a²+b²-2abcosC

即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

黄先生
2024-12-27 广告
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