Question

棣莫弗公式是什么?

Answer 1

棣莫弗公式是指法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）于1707年创立的公式。当一个复数z以极坐标形式表达，即z = r(cosθ＋isinθ）时，其n次方（r(cosθ＋isinθ））n = rn(cos(nθ）＋isin(nθ）），其中n属于任何整数。

推广形式

设n个复数Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),……，Zn=rn(cosθn+isinθn),则：Z1Z2……Zn=r1r2……rn【cos(θ1+θ2+……＋θn)+isin(θ1+θ2+……＋θn)】。

证：用初等数学的知识已经不好来证明这个定理推广，需要运用欧拉公式“e^iθ＝cosθ＋isinθ”（详见我的词条《泰勒公式》）给予证明。把所有的复数改写成幂指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2,……，Zn=rne^iθn。

所以有：Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i(θ1+θ2+……＋θn).再把这个指数形式改写成三角形式就可得到：Z1Z2……Zn=r1r2……rn【cos(θ1+θ2+……＋θn)+isin(θ1+θ2+……＋θn)】。

在一般形式中如果令Z1=Z2=……＝Zn=Z，则能导出复数开方的公式。