二阶导小于0是凹还是凸?
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二阶导数小于0,函数图像确实是凸起的,但在定义上它是凹函数(任意两点的弧段总在这两点连线的上方)。
反之,二阶导数大于0,函数图像是凹下去的,在定义上是凸函数(任意两点的弧段总在这两点连线的下方)。
定理 设函数y=f(x)在[a,b]内连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么 (1)若在(a,b)内, f(x)>0,则曲线y=f(x)在[a,b]上是凹的. (2)若在(a,b)内, f(x)<0,则曲线y=f(x)在[a,b]上是凸的。
二阶导数符号与函数凹凸性之间的关系
观察下图凹函数的切线,切线的斜率似乎在不断增大。
实际上也确实如此,凹函数的切线斜率随着x的增大而增大,相对的,凸函数的切线斜率随着x的增大而减小,又二阶导数的几何意义正是图像切线的斜率,便对应起来。即:函数为凹函数,则二阶导数大于0,函数为凸函数,则二阶导数小于零。
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