Question

用二重积分求体积

求球体x的平方加y的平方加z的平方小于等于4a被圆柱面x的平方加y的平方等于2ax(a>0)所截得（含在圆柱面内部的部分）立体的体积

Answer 1

立体的问题图要画的，画不好不要紧，关键要把大概弄清楚。
至于边界，不需要图来看出，而是通过条件解出来。
例如第一题，联立ab可以知道边界是x²+y²=1及z=1，在头脑或者纸上就有这个影像，它是个对称的橄榄体，求它面积的二重积分范围应该是x²+y²《1。然后列出积分式子进行转化和求出。
至于第二题，首先明白它是个柱体，上下面分别被2x+3y+z=6及z=0所截。这里首先要判断上表面2x+3y+z=6与下表面z=0在柱体范围内是否相交，由于最低点在x=1，y=1上，此时z=1>0，说明在柱体范围内不相交，于是可以列出该二重积分的范围是0《x《1，0《y《1了。
总之，做这类题目，最好是画下示意图先，不求很精准，但要能体现出它的特点来。然后边界问题还是通过计算来获得。
好了，说了这么多希望能对你有所收获

Answer 2

求球体x² + y² + z² ≤ 4a²被圆柱面x² + y² ≤ 2ax(a > 0)所截得的立体的体积。
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由对称性，原本体积 = 4倍在第一挂限的体积
取f(x，y)为√(4a² - x² - y²)
V = ∫∫D √(4a² - x² - y²) dxdy
= ∫(0，π/2) dθ ∫(0，2acosθ) √(4a² - r²) r dr
= ∫(0，π/2) (- 1/2) * (2/3)[(4a² - 4a²cos²θ)^(3/2) - 8a³] dθ
= ∫(0，π/2) (- 1/3) * 8a³ * (sin³θ - 1) dθ
= (- 8a³/3) * (2/3 - π/2)
= (4/9)(3π - 4)a³
于是所求体积为4V = (16/9)(3π - 4)a³

追问

不是x² + y² ≤ 2ax而是x² + y² = 2ax，这有影响吗？

追答

没有。用不等号是表示也包括里面部分而已

追问

为什么是(0，π/2)，可以画个图解释下吗？非常感谢了

追答