Question

求极限lim(n→无穷大)sin{[根号(n^2+1)]*π}（要求运用“夹逼准则”来解，老师给的提示是利用X>=sinX）

Answer 1

√n² ＜√(n²+1) ＜√[n²+1+1/(4n²)]
即 n ＜√(n²+1) ＜ n + 1/(2n)
lim(n→∞)sin(nπ)= 0
lim(n→∞)sin{[n+1/(2n)]π} = lim(n→∞) [sin(nπ)cos(π/2n)+ cos(nπ)sin(π/2n)]
= 0
∴lim(n→∞)sin{[√(n²+1)]*π} = 0

追问

“n ＜√(n²+1) ＜ n + 1/(2n)”—→“sin nπ ＜sin(√(n²+1))π ＜sin(n + 1/(2n))π”
为什么可以这样转化的？x→无穷 时sinX不是单调的呀

追答

当n→∞时，在区间[nπ , nπ+π/(2n)] 内，y=sinx是单调的，因此上式是可以这样转化的。