Question

线性代数，等价是什么意思

Answer 1

在一个给定的集合S上，我们可以定义元素之间的某种关系。如果该关系满足三个性质：（1）自反性（2）对称性（3）传递性，我们称该关系为等价关系（equivalence relation[1]），记为～。
自反性就是S中的任意元素和自身有该种关系，即A～A；对称性是若对于S中两个元素A、B，如果A～B，则有B～A；传递性是指对于S中三个元素A、B、C，如果A～B，则有B～C，则有A～C。
扩展资料
如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。
等价具有反身性：即对任意矩阵A，有A与A等价。
对称性：若A与B等价，则B与A等价。
传递性：若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。
用矩阵的初等变换求解矩阵方程 最常见的方程有以下两类：
（1）设A是n阶可逆矩阵，B是n×m矩阵，求出矩阵X满足AX＝B，原理：AX＝B
时
（2）设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵X满足XA＝B。
解：由方程XA＝
B XAA-1
＝B A-1
  解为x= B A
-1
要注意的是，矩阵方程XA＝B的解为x= B A
-1
，而不可以写成x= A-1
B。因为X满足XA＝
BXT
满足ATXT
＝BT，从而有  XT
=（AT
）-1
 BT
=（BA-1
）T，所以，可以先用上述方法求解AT
 XT
＝BT
，再把所得结果XT
转置即得所需的X＝BA-1
。
（向量组的等价）如果向量组R能由向量组S线性表出，反之,向量组S也能由向量组R线性表出，则称向量组R与S等价。
等价关系与分类
若集合S上具有等价关系~，则按照该等价关系对S中的元素进行分类，就是把具有等价关系的元素归为一类，称为等价类，使得S成为成为各等价类的无交并。这样当S有一个等价关系，S也就有了一个分类标准。
反之，对于集合S，若给一个分类标准，则可以对S进行分类。籍于此分类，我们对S中的元素可以定义一个关系～如下：A、BS，A～B当且仅当A和B属于同一类。
易于验证该关系是一个等价关系。也就是说S上的一个分类标准就会给出一个S上的等价关系。一般地我们有结论：集合S上的等价关系和分类方法是一一对应的。