Question

直线的向量参数方程是什么

Answer 1

参数方程是这样一个：若直线Ax+By+C=0，且Ax0+By0+C=0
则{x=x0+bt,y=y0+at},b=cosα,a=sinα,α是倾斜角,对于任意的实数t总有一个直线上的点与之对应，而对于直线上任意的点，总有一个实数t与它对应。
首先可以去看一下教材上关于“向量与直线”的阅读材料，我这里说一下。
设直线l经过点P0(x0，y0)，y=(a，b)是它的一个方向向量．P(x，y)是直线l上的任意一点，则向量P0P与v共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一实数t，使向量P0P=tv,即(x－x0，y－y0)=t(a，b)，所以x=x0+at,y=y0+bt,而方向量其实是(cosα,sinα),所以x=x0+cosαt,y=y0+sinαt
如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量．直线l有法向量n=(A，B)，且经过点P0(x0，y0)，则点P(x，y)在直线l上的充要条件是P0P*n=0,即A(x－x0)＋B(y－y0)=0．这个方程由直线l上一点P0(x0，y0)及直线l的法向量n确定，称为直线l的点法式方程．
设直线l1和l2的方程分别是
l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，
那么，n1=(A1，B1)和n2=(A2，B2)分别是直线l1和l2的法向量．
如果l1‖l2，则n1‖n2，所以
A1B2－A2B1=0．
由此可知，A1B2－A2B1=0是直线l1‖l2的必要条件．
如果l1⊥l2，则n1⊥n2，反过来也对．而n1⊥n2的充要条件是n1·n2=0，即A1A2＋B1B2=0．所以，直线l1⊥l2的充要条件是A1A2＋B1B2=0．
后面介绍了夹角，但我觉得夹角用向量来做是添乱，不介绍了。
另外这个参数方程还有一个作用，|t|其实只线段长，如果代入某圆或圆锥曲线方程，那么求出t就是弦长，一般用韦达定理。

Answer 2

设直线的倾角为θ,且过定点P0(x0,y0),P(x,y)是直线上动点
则((cosθ,sinθ)是直线的一个方向向量.
得其向量关系: (x,y)=(cosθ,sinθ)t+(x0,y0)
所以直线参数方程:
{x=(cosθ)t+x0
{y=(sinθ)t+y0

希望能帮到你！