Question

n加1个n维向量必线性相关是什么？

Answer 1

以n+1个n维向量作为列向量构成的矩阵的秩不超过n（矩阵的秩不超过其行数和列数中小的那个）；所以r（A）＜=n；所以A的列向量组的秩＜=n，即n+1个n维向量的秩＜=n，故线性相关。

注意：

1、对于任一向量组而言。不是线性无关的就是线性相关的。

2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关；若a≠0，则说A线性无关。

3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

4、含有相同向量的向量组必线性相关。

5、增加向量的个数，不改变向量的相关性（注意，原本的向量组是线性相关的）。

6、减少向量的个数，不改变向量的无关性（注意，原本的向量组是线性无关的）。

7、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

站在向量空间角度理解：

全体n维向量组成n维向量空间，我们知道1维向量空间是一条直线，2维度向量空间是一个平面，3维向量空间是立体空间。

对于n维向量空间中的任意一个非零向量a₁，如果要找到a₂和a₁不相关，则a₂就不能位于直线k₁a₁（k₁为任意实数）上。