Question

已知圆O：x^2+y^2=1和圆C：（x-3)^2+(y-4)^2=4若过点M（x，y）分别作圆O的切线MA,MB,圆C的切线MP,MQ,若

已知圆O：x^2+y^2=1和圆C：（x-3)^2+(y-4)^2=4若过点M（x，y）分别作圆O的切线MA,MB,圆C的切线MP,MQ,若MP=MA，则cos角PMQ的最小值

Answer 1

圆O：x^2+y^2=1和圆C：（x-3)^2+(y-4)^2=4

圆心距|OC|=5>r1+r2=3

∴二圆相离，M在二圆外

根据题意MP=MA=MQ=MB

∴√(|MO|²-1)=√(|MC|²-4)

∴|Mo|²-1=|MC|²-4

∴x²+y²=(x-3)²+(y-4)²-3

∴3x+4y-11=0

即点M在直线3x+4y-11=0上

设∠PMC=α

∴sinα=2/|MC|

C到直线3x+4y-11=0的距离

  d=|9+16-11|/5=14/5

∴|MC|≥d=14/5

∴sinα≤2/d=5/7

∴cos∠PMQ=cos2α

=1-2sin²α≥1-2*(5/7)²=-1/49

即cos∠PMQ最小值为-1/49

追问

∴sinα=2/|MC|,cos∠PMQ越小，则∠PMQ越大，则sinα越小，则MC越大，可是MC趋近正无穷？

追答

当MC趋近正无穷，MC越大，则sinα越小，α-->0 ,cosα越大，cosα-->1
当MC最小时，cosα取最小值，这时，∠PMQ最大