Question

“已知X>0,Y>0,且1÷X+9÷Y=1,求x+y的最小值”的解题方法有误吗？

已知x>0,y>0，且1/x+9/y=1,求x+Y的最小值？
网上方法是：X+Y=(1/X+9/Y)(X+Y)=10+Y/X+9X/Y>=10+6=16
你的方法（x+y)^2=X^2+y^2+2XY>=4xy
当x=y时取最小值
1/x+9/x=1,x=10=y,x+y=20
我觉得你的方法比较好理解，但为什么在不同题中答案会错？？
求解。。。

Answer 1

我知道这个不等式解题方法叫“1的换元”。
就是楼上所说的：（x+y)^2=X^2+y^2+2XY>=4xy，当x=y时取最小值只是指(x+y)²的最小值，并不是1/x + 9/y的最小值。
这是高中不等式题中的一个易错点。

Answer 2

注意：（x+y)^2=X^2+y^2+2XY>=4xy，当x=y时取最小值！
这里的最小值指的是(x+y)²的最小值，但这并不能说明当x=y时，1/x + 9/y也取得最小值！
错就在这儿！
已知x>0,y>0，且1/x+9/y=1,
X+Y=(1/X+9/Y)(X+Y)=10+Y/X+9X/Y>=10+6=16
此时是当y/x=9x/y即y=3x亦即x=4，y=12时取得最小值。

Answer 3

这是一的代换，是考察基本不等式中非常常见的题型。x+y=1*(x+y)=(1/x+9/y)*(x+y)=1+9+9x/y+y/x>=16,当且仅当9x/y=y/x即y=3x是取等号。
而你写的解法求的是（x+y)^2的最小值，而且题中给你的条件你没用上，一般情况下，题中的条件都是有用的。