Question

f(x)=x²+x-alnx-2,若x>1,f(x)>0恒成立,求a的取值范围

Answer 1

对a的取值范围进行分类讨论求解，过程如下：

说明：这里讨论的是a与函数y=2x²+x，x∈(1,+∞)值域的关系。

Answer 2

若x>1,f(x)=x²+x-alnx-2>0恒成立，
即a<(x^2+x-2)/lnx,记为g(x),
g'(x)=[(2x+1)lnx-(x^2+x-2)/x]/(lnx)^2
=[(2x^2+x)lnx-x^2-x+2]/[x(lnx)^2],
设h(x)=(2x^2+x)lnx-x^2-x+2,则
h'(x)=(4x+1)lnx+2x+1-2x-1
=(4x+1)lnx>0,
所以h(x)是增函数，h(x)>h(1)=0,
所以g'(x)>0,
g(x)是增函数，
x→1+时g(x)→（2x+1）/(1/x)→3，
所以a<=3,为所求。