Question

线性代数证明题 A为n阶正定矩阵 I为单位矩阵 证明A+I的行列式|A+I|>1

Answer 1

思路给你写一下吧,因为有些符号不好打
A为n阶正定阵,所以与A相似的对角阵设为∧ ,即存在可逆矩阵Q
使得Q-1AQ=∧
|Q-1||A+I||Q|=|Q-1AQ+Q-1IQ|=|∧+I|
∧就是对角线都为A的特征值的数量矩阵,因为A正定,所以所有的特征值都大于0
设这些特征值分别为λ1,λ2,...,λn,这些都大于0
∧+I所得矩阵就是对角线都为λ1+1,λ2+1,...,λn+1其余元素都为0的方阵
|∧+I|=(λ1+1)(λ2+1)...(λn+1)>1
而同时|Q-1||A+I||Q|=1/|Q||A+I||Q|=|A+I|
所以|A+I|=|∧+I|>1