Question

近世代数理论基础8：群与子群

Answer 1

定义：设A是一个非空集合,一个从 到A中的映射 称为集合A上的一个二元运算,简称为运算,也称为乘法或加法,记 在f下的像为 或 ,称为a与b的积或和

定义：设G是一个非空集合,且G上有一个乘法" "满足下列条件：

1. ,有 (乘法的结合律)

2. , ,有 (e称为群G的单位元)

3. , ,使 (b称为a的逆元,记作 )

则称G关于乘法" "构成一个群

注：一个集合上可定义多种乘法,用 表示群,简记作G

设 是一个群,若 ,有 ,则称G为交换群(Abel群),否则称为非交换群(非Abel群)

例：记 为实数域R上的n阶可逆矩阵的全体所成集合,其乘法为矩阵的乘法,则 构成一个非交换群

设 是一个群,G所含元的个数称为群G的阶,记作 ,若$|G|为有限数,则称G为有限群,否则称为无限群

注：若 ,由乘法结合律,n个a的连乘 有意义,记作 ,规定 ,将满足 的最小正整数n称为元a的阶,记作 ,若上述n不存在,则称a的阶无限,记作

例：在集合 中定义运算" "： ,显然, 是群,其中单位元为

, , ,故

定理：设 是群,则G满足消去律：

1.左消去律： ,若 ,则

2.右消去律： ,若 ,则

证明：

定义：设 是群,H是G的非空子集,若H关于G中的乘法构成一个群,则称H为G的子群,记作 ,若 ,则称H为G的真子群,记作

注：显然 是 的真子群, 是 的真子群

若 是群,则 和G显然是G的子群,称为G的平凡子群

引理：设 是群, ,则H中的单位元与G中的单位元相同

证明：

引理：设 是群, , ,则a在H中的逆元与在G中的逆元相同

证明：

定理：设 是群,H为G的非空子集,则下列条件等价：

1.H为G的子群

2. ,有 ,且

3. ,有

证明：

定理：设 是群, 为G的一个子群簇,其中I为某个指标集,则 也是G的子群

证明：

设 是群,S是群G的非空子集,G中所有包含S的子群的交称为由S生成的子群,记作 ,即

易证

特别：

若 ,则

若 ,则称G是由S生成的,S中的元称为G的生成元,若S是有限集,则称G是有限生成的,否则成G是无限生成的

显然,有限群是有限生成的,但有限生成的群不一定是有限群,例如 是由1生成的无限群

例：有理数集Q关于加法" "构成一个群 不是有限生成的

证：