Question

拉格朗日乘法是什么？

Answer 1

拉格朗日乘数（以 约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名） 是一种寻找变量受一个或多个限制的多元方程的极值的方法。 这种方法将一个有n 变量与 k 约束的问题转换为一个更易解的n + k个变量的方程组，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的斜率（gradient）的线性组合里每个向量的系数。此方法的证明牵涉到偏羡粗谈微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。介绍先看一个二维的例子：假设有方程： f(x,y)，要求其最大值，且 c 为常数。对不同dn的值，不难想象出 的等高线。而方程g的等高线正好是g(x,y) = c。想象我们沿着g = c的等高线走；因为大部分情况下兄碰f和g的等高线不会重合，但在有解的情况下，这两条线会相交。想象此时我们移动g = c上的点，因为f是连续的方程，我们因此能走到更高或更低的等高线上，也就是说dn可以变大或变小。只有当g = c和相切，也就是说，此时，我们正同时沿着g = c和走。这种情况下，会出现极值或鞍点。气象图中就很常出现这样的例子，当温度和气压两列等高线同时出现的时候，切点就意味着约束极值的存在。用向量的形式来表达的话，我们说相切的性质在此意味着f和g的斜率在某点上平行。此时引入一个未知标量λ，并求解： 且 λ ≠ 0.一旦求出λ的值，将其套入下式，易求在无约束极值和极值所对应的点。 = 新方程F(x,y)在达到极值时与f(x,y)相等，因为F(x,y)达到极值时g(x,y) �6�1 c总等于零。[编辑] 拉格朗日乘数的运用方法如f定义为在Rn上的方程，约束为gk(x) = c（或将约束左移得到gk(x) �6�1 c = 0）。定义拉格朗日Λ为 注意极值的条件和约束现在就都被记录到一个式子里了： 和 拉格朗日乘数常被用作表达最大增长值。原因是从式子： 中我们可以看出λk是当方程在被约束条件下，能够达到的最大增长率。 拉格朗日力学就使用到这个原理。拉凳含格朗日乘数法在Karush-Kuhn-Tucker最优化条件被推广。[编辑] 例子[编辑] 很简单的例子求此方程的最大值：f(x,y) = x2y 同时未知数满足x2 + y2 = 1 因为只有一个未知数的限制条件，我们只需要用一个乘数λ.g(x,y) = x2 + y2 �6�1 1 Φ(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y) = x2y + λ(x2 + y2 �6�1 1) 将所有Φ方程的偏微分设为零，得到一个方程组，最大值是以下方程组的解中的一个：2xy + 2λx = 0 x2 + 2λy = 0 x2 + y2 �6�1 1 = 0 [编辑] 另一个例子求此离散分布的最大熵： 所有概率的总和是1，因此我们得到的约束是g(p) = 1 即 可以使用拉格朗日乘数找到最高熵（概率的函数）。对于所有的k 从1 到 n, 要求 由此得到 计算出这n个等式的微分，我们得到： 这说明pi 都相等 (因为它们都只是 λ 的函数). 解出约束 ∑k pk = 1, 得到 因此，使用均匀分布可得到最大熵的值。

Answer 2

拉格朗日数乘法　　在条件极值问题中 满足条件前罩 g(x, y) = 0 下，去磨悔吵寻求函数 f(x, y) 的极值。 对三变量函数
　　F(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)
　　联立方程式
　　Fλ = g(x, y) = 0
　　Fx = fx (x, y) + λgx (x, y) = 0
　　Fy = fy (x, y) + λgy (x, y) = 0
　　求得的解 (x, y) 就成为极值的候补。
　　这样求极值的方法就叫做拉格朗日乘数法、瞎侍λ叫做拉格朗日乘数。　　

Answer 3

在g(x,y)=0下，求f(x, y) 的极值。
令函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)
分别对x,y,λ求偏导败神并令之为0
对λ的偏导g(x,y)=0
对x的偏导fx(x,y)+λgx(x,y)=0
对y的偏导fy(x,y)+λgy(x,y)=0
求困枯姿得的解(x,y)就可能是极值,要再代入检验它异侧的符号，若相同则不是极值点。
这样求极值的方法就叫做汪绝拉格朗日乘数法、λ叫做拉格朗日乘数