Question

概率论中的参数估计问题

设(X1,...,Xn)来自总体X的样本，已知总体X的分布密度函数为：

求未知参数θ的矩估计和最大似然估计

请学出解答步骤，谢谢!

Answer 1

（1）矩估计
E（X）=∫x*[θ*x^(θ-1)]dx=θ/(θ+1)=(X1+X2+```+Xn)/n
—>θ=1/[n/(X1+X2+```+Xn)-1]
（2）最大似然估计
似然函数L（θ）=f(X1)*f(X2)*```*f(Xn)=(θ^n)*(X1*X2*```*Xn)^(θ-1)
ln[ L（θ）]=n*ln（θ）+(θ-1)[ln(X1)+ln(X2)+```+ln(Xn)]
对θ求导得导数为：D=n/θ+[ln(X1)+ln(X2)+```+ln(Xn)]
要让似然函数最大，则导数D=0,—>θ=-n/[ln(X1)+ln(X2)+```+ln(Xn)]=-n/[ln(X1*X2*```*Xn)]

Answer 2

（1）矩估计
E（X）=∫x*[θ*x^(θ-1)]dx=θ/(θ+1)=(X1+X2+```+Xn)/n
—>θ=1/[n/(X1+X2+```+Xn)-1]
（2）最大似然估计
似然函数L（θ）=f(X1)*f(X2)*```*f(Xn)=(θ^n)*(X1*X2*```*Xn)^(θ-1)