Question

多元函数的连续和极限题

(x^2+y^2) 不为0时， f(x,y)=(xy^2)/(x^2+y^2)；(x^2+y^2) 为0时，f(x,y)=0， 讨论这个函数在原点的连续性，偏导数的存在性，是否可微。

Answer 1

首先x²+y² ≥ 2|xy|, 故1/2 ≥ |xy|/(x²+y²) ≥ 0, 于是|y|/2 ≥ |xy²/(x²+y²)| = |f(x,y)| ≥ 0.
当(x,y) → (0,0)时, |y|/2 → 0, 因此f(x,y) → 0 = f(0,0), 函数在原点连续.

在f(x,y)在原点对x的偏导即f(x,0)对x的导数.
f(x,0) = 0对任意x成立, 故∂f/∂x在原点存在并等于0.
同理, 由f(0,y) = 0对任意y成立, ∂f/∂y也在原点存在并等于0.

由定义, f(x,y)在原点可微即f(x,y)-f(0,0)-x·∂f(0,0)/∂x-y·∂f(0,0)/∂y = o(√(x²+y²)).
代入f(0,0) = 0, ∂f(0,0)/∂x = ∂f(0,0)/∂y = 0即f(x,y) = o(√(x²+y²)).
然而对x = y, 有f(x,y) = f(x,x) = x³/(2x²) = x/2 = √(x²+y²)/(2√2).
因此(x,y) → (0,0)时, f(x,y)并不是√(x²+y²)的高阶无穷小, 也即f(x,y)在原点不可微.
注: 也可以用另一种说法: f(x,y)在原点对向量(1,1)的方向导数 = 1/2,
并不等于(1,1)·(∂f(0,0)/∂x,∂f(0,0)/∂y) = ∂f(0,0)/∂x+∂f(0,0)/∂y = 0, 因此在原点不可微.

Answer 2

　　这类题在许多《数学分析》和《高等数学》教材了都有，不是作为例题就是习题。
该题在这里写起来很麻烦的，你自己翻翻书，依样画葫芦就行。

Answer 3

啥叫微分讲明白就会了