Question

若a，b满足a²+b²＝2，求2a²/b+3b/a的最大值？

Answer 1

a²+b²＝2, a，b 属于 [-根号2, 根号2] 就是xy坐标系中以原点为顶点，根号2为半径的圆

a,b同为分母，则a,b均不为0，也不为正负根号2，则a，b 属于 （-根号2，0）U(0, 根号2）

做到这里，如果是填空题就可以用枚举法，因为这种数字不会太变态，而且位于区间，所以一定是a,b=正负1

a=1, b=1,结果为5

a=-1, b=1,结果为-1

a=1, b=-1,结果为-5

a=-1, b=-1,结果为1

图片里求最小值，所以最小值为-5,选择填空不一定要计算全部过程，嘿嘿

如果是简答题，那么可以根据这个方向推算，设b=正负(a*根号（2-a^2))

我们这里只讨论b=负(根号（2-a^2))，b=正(根号（2-a^2))的时候是无解的

则原式可修改为为（2a^3+3b^2)/ab = -(2a^3+6-3a^2)/(a*根号（2-a^2))

设值为y, 即y=(-2a^3-6+3a^2)/(a*根号（2-a^2))

y的极大值和极小值在导数为零时，对y求导，即：

（-6a^2+6a)a*根号(2-a^2)-（-2a^3-6+3a^2)（根号（2-a^2)+a*(1/2)*(-2)a)=0

（a-1)6a^2*根号(2-a^2)-（-2a^3-6+3a^2)（根号（2-a^2)-a^2)=0

前半部分a=1时（a-1)为0，后半部分a=1时，根号（2-a^2)-a^2为0， 则a=1,y的导数为0

这时候，有时间可以解开一步步算，没有时间可以直接解得a=1

a=1 代入y=(-2a^3-6+3a^2)/(a*根号（2-a^2)) 得 y=-5

验证 当a=-1， y=-1>-5, 所以极小值为-5

当a趋于0或根号2时，y分母趋于无穷小，y趋于无穷大，所以-5也是最小值