Question

利用函数性质解含参不等式的恒成立问题

Answer 1

使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型

解题步骤：

第一步 首先可以把含参不等式整理成适当形式如 、 等；

第二步 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；

第三步 得出结论.

【例】 已知函数 ， 其中 . 若在区间 上， 恒成立，求 的取值范围.

【解】 ，令 ，解得 或 .

(1)若 ，则

于是当 时， ；

当 时， 。

所以当 时，有极大值。

于是 时， 等价于

解得

(2)若 ，则 ，

于是当 时， ；

当 时， 。

所以当 时， 有最大值，

当 时， 有最小值。

于是 时， 等价于

解得 或 ，因此

综合(1)(2)得 .

【总结】对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，我们可以把含参不等式整理成适当形式如 、 等，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值. 在解题过程中常常要用到如下结论：

（1）如果 有最小值 ，则 恒成立 ， 恒成立 ；

（2）如果 有最大值 ，则 恒成立 ， 恒成立 ；