Question

已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证：（a/1-1）(b/1-1)(c/1-1)≥8

Answer 1

证明：
方法一：
∵（1/a-1)
=(1-a)/a
=(a+b+c-a)/a
=(b+c)/a
又(√b-√c)^2≥0
b+c≥2√(bc)
∴（1/a-1)=(b+c)/a≥2√(bc)/a
同理
(1/b-1)≥2√(ac)/b
(1/c-1)≥2√(ab)/c
故(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b]*[2√(ab)/c]
=8 √[(a^2)*(b^2)8(c^2)]/(abc)
=8
∴(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥8
证法二：
1/a-1=(a+b+c)/a-1=(b+c)/a≥2【√(bc)】/a
1/b-1=(c+a)/b≥2【√(ca)】/b
1/c-1=(a+b)/c≥2【√(ab)】/c
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥2【√(bc)】/a*2【√(ca)】/b*2【√(ab)】/c
=8abc/abc=8
当且仅当a=b=c=1/3时取等号.
证法三：
因为a+b+c=1,
所以(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)
=[(a+b+c)/a-1][(a+b+c)/b-1][(a+b+c)/c-1]
=(1+b/a+c/a-1)(1+a/b+c/b-1)(1+a/c+b/c-1)
=(b/a+c/a)(a/b+c/b)(a/c+b/c)
≥(2bc/a^2)(2ac/b^2)(2ab/c^2)
=8
当且仅当a=b=c=1/3时取等号.
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