Question

求表面积为a^2而体积为最大的长方形体积'用拉格朗日乘数法

Answer 1

让矩形的x的长度，宽度为y和z />高度的目标函数的函数f（x，z）的= xyz的/>限制为g（，和z）= 2（XY + YZ + XZ）= 2
φ（X，Y，Z）= 2（XY + YZ + XZ）-2 = 0
引入拉格朗日乘子λ，构建拉格朗日函数L（X，? ，Z）= F（X，Y，Z）+λφ（X，Y，Z）= XYZ +λ[2（XY + YZ + XZ）2]

L'所述（X，Y，Z）= 2λYZ（Y + Z）= 0 ..... （1）
L'Y（X，Y，Z）= XZ +2λ（X + Z）= 0 ..... （2）
L'Z（X，Y，Z）= XY +2λ（X + Y）= 0 ..... （3）
φ（X，Y，Z）= 2（XY + YZ + XZ）-α2 = 0 ..... （4）/>（1）（2）（3），得到
X = Y = Z =4λ
入式（4），得到
λ= /√96 =√6a/24
，停滞的P（X，Y，Z）= P（√6A / 24，√6a/24，√6a/24）
独特的固定点，所以最值
最大体积V ??= xyz的=8λ^ 3 =√6A ^ 3/2304

Answer 2

设长方体的长宽高为x,y,z求体积函数f(x,y,z)=xyz,在条件φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a^2=0下的极值
方法（步骤）是：
1.做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数
2.求L分别对x,y,z,λ求偏导并等于零,得方程组的解，x=y=z=a除以根号6求出驻点P(x,y,z)
如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点唯一，即为那个解

追问

对哪条式子求偏导

追答

拉格朗日函数L

追问

∅等于什么

追答

L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)，φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a^2

追问

为什么φ(x,y,z)=2(xy yz xz)-a^2

追答

这是你做的，你令φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a^2

追问

f（x，y，z）=？

追答

拉格朗日乘数法
不就是求函数f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0下的极值，你的条件不就是表面积为a^2，所以做φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a^2

f(x,y,z)=xyz，不就是你要求的体积函数

追问

对吗'最后的结果有什么简单方法得出

追答

对的，你可以看到，对XYZ求偏导的式子完全对称，所以x=y=z;再由对λ求偏导的式子得出答案，求采纳