Question

计算曲面积分∫∫（x^2)dS，其中S为上球面z=根号（1-x^2-y^2）,x^2+y^2<=1.

Answer 1

为啥没有下面的部分呢？条件不足。把问题修正一下。
计算曲面积分∫∫Σ x² dS，其中Σ为上球面z = √(1 - x² - y²)，x² + y² = 1被z = - h所截得的部分。
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取Σ1：z = √(1 - x² - y²)，0 ≤ z ≤ 1
取Σ2：x² + y² = 1，- h ≤ z ≤ 0
∫∫Σ1 x² dS
= ∫∫D x² * 1/√(1 - x² - y²) dxdy，x² + y² ≤ 1
= ∫(0，2π) dθ ∫(0，1) r³cos²θ/√(1 - r²) dr
= 2π/3
∫∫Σ2 x² dS
= 2∫∫Σ21 x² dS
= 2∫∫D (1 - y²) dydz
= 2∫(- h，0) dz ∫(- 1，1) √(1 - y²) dy
= 2 * πh/2
= πh

于是∫∫Σ x² dS = 2π/3 + πh = (1/3)(2 + 3h)π

追问

谢谢，请问
∫(0，2π) dθ ∫(0，1) r³cos²θ/√(1 - r²) dr
= 2π/3这一步能给我详细说一下是怎么对r积的？

追答

可用第二换元法：
∫(0，1) r³/√(1 - r²) dr，令r = sinφ，dr = cosφ dφ
= ∫(0，π/2) sin³φ/cosφ * cosφ dφ
= ∫(0，π/2) sin³φ dφ
= ∫(0，π/2) (1 - cos²φ) d(- cosφ)
= (1/3 * cos³φ - cosφ)：(0，π/2)
= - (1/3 - 1)
= 2/3
∫(0，2π) cos²θ dθ
= ∫(0，2π) (1 + cos2θ)/2 dθ
= (1/2)(θ + 1/2 * sin2θ)：(0，2π)
= (1/2)(2π)
= π

你肯行你的题目没问题吗？积分区域并没有下限的。

追问

考试题就是这样的，下限应该就是z=0.谢谢你

追答

还以为后面那个那包括了呢，是个圆柱体。

那用对称性再算一次，这个算法会简单点，不用算θ的部分。

取Σ：z = √(1 - x² - y²)
有∫∫Σ x² dS = ∫∫Σ y² dS (对称性，Σ关于yoz面和zox面都对称)
∫∫Σ x² dS
= (1/2)∫∫Σ (x² + y²) dS
= (1/2)∫∫D (x² + y²) * 1/√(1 - x² - y²) dxdy
= (1/2)∫(0，2π) dθ ∫(0，1) r²/√(1 - r²) * r dr，令r = sinz，dr = cosz dz
= (1/2)(2π)∫(0，π/2) sin³z/cosz * cosz dz
= π∫(0，π/2) (cos²z - 1) d(cosz)
= π(1/3 * cos³z - cosz)：(0，π/2)
= - π(1/3 * 1 - 1)
= 2π/3

Answer 2

投影法，因xoz与yoz平面两边前后对称，原式=∫∫（x^2)dxdy，化为极坐标为∫(0,2π)∫(0,1）p^3cos^2tdpdt=π/4

追问

这是曲面积分，不是二重积分，x^2要成根号(1+(z'x)^2+(z'y)^2)

追答

呃，你说的是第几类曲面积分？如果是第一类那就不用管我了