把一个棱长是10分米的正方体，削成一个最大的圆锥圆锥的体积与正方形的体积的比是几比几？
【初中生做法】
作图如下：
很容易看出，圆锥的底圆直径不可能更大了，高也不可能更大了，这种情况下：
圆锥底面半径r=a/2，圆锥高h=a，则体积为：
V锥=πr²h/3=π(a/2)²a/3=πa³/12=V方·π/12
即：V锥 : V方=π/12≈0.2618
【高中及以上做法】
但其实，从一个正方体中切出体积最大的圆锥，上述方案并非最大方案。
如果采用下图所示方案来切，可以获得体积更大的圆锥：
以正方体对角线AG为中轴，切一个圆锥，我们来算算怎么样能获得一个体积最大的圆锥体，且算算这个体积是多少。
我们取ADGF截面，得到如下平面图形：
图形中，AD=FG=a，AF=DG=√2·a，AG=√3·a；
MN⊥AG，P为圆锥底面圆心，MN为底面直径，底面半径为MP=NP=r，圆锥高为AP=h。
圆锥不能切到正方体外面去，所以α≤β，即：tanα≤tanβ
即：NP/AP≤FG/AF=1/√2
即：h≥√2·r……①
又：MP/PG=tanβ=FG/AF=1/√2，可得：PG=√2·r
即：h=AP=AG-PG=√3·a-√2·r……②
联合①②，得到：√3·a-√2·r≥√2·r
即：r≤√6·a/4（定义域）……③
圆锥体积为：
V锥=πr²h/3=πr²(√3·a-√2·r)/3=(√3·ar²-√2·r³)·(π/3)
欲求V锥的最大值，即求(√3·ar²-√2·r³)的最大值，下面利用导数求极值：
设f(r)=√3·ar²-√2·r³导数=0（三次函数有一个极大值和一个极小值，后面判断），即：
f'(r)=2√3·ar-3√2·r²=0
r₁=0，r₂=√6·a/2
当r₁=0时，f(r)取得极小值，舍弃。
当r₂=√6·a/2时，f(r)取得极大值，但根据③式，已超出圆锥底面半径定义域。
根据三次函数性质，f(r)在[r₁，r₂]区间内单调递增，
因此，在定义域(0，√6·a/4]内的函数最大值就是r=√6·a/4时，即：
r=√6·a/4
h=√3·a-√2·r=√3·a/2……④
V锥ₘₐₓ=(√3·ar²-√2·r³)·(π/3)=[√3·a(√6·a/4)²-√2·(√6·a/4)³]·(π/3)
=a³·√3·π/16=V方·√3·π/16
即：V锥 : V方=√3·π/16≈0.3401
【注一】
0.3401 > 0.2618
所以，这样切出来的圆锥体积比第一种方法切出来的体积更大。
【注二】
根据④式，圆锥高度h是正方体对角线长度的一半；
即：按该方法可以切出两个等大的圆锥，它们底面重合，方向相反。
1/3×3.14×5×5×10=785/3.
正方体的体积是1000立方分米。
圆锥的体积与正方形的体积的比是785/3:1000.等于785:3000。等于157:600。
=1/3*3.14*25*10:10^3
=262:1000
=131/500
圆锥与正方体体积之比为131/500
