Question

极值的求法

Answer 1

极值的求法

定义1 设函数 y = f(x) 在点 x0 的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任意一点x(x≠x0),有

(1)f(x)<f(x0),则称f(x0)为 f(x) 的极大值,其中 x 为 f(x) 的极大值点;

(2)f(x)>f(x0),则称f(x0)为 f(x) 的极小值,其中 x 为 f(x) 的极小值点

函数的极大值与极小值统称为函数的极值,极大值点与极小值点统称为极值点

     如果 x0 是函数f(x)的极值点,则 f ' (x0)=0或者f(x)不存在

     如果 f'(x0) = 0,则称 x 为函数 f ' (x0)的驻点

定理8(极值的第一判定定理)设函数y=f(x)在点x0处连续,且在点x0的某一去心邻域内可导,如果在该邻域内

(1)当x<x0时, f ' (x)>0;而当x>x0时, f ' (x)<0,则f(x)为f(x)的极大值;

(2)当x<x0时, f ' (x)<0;而当x>x0, f ' (x)>0,则f(x)为f(x)的极小值;

(3)若在点 x0 的两侧 f ' (x)不变号,则fx0)不是f(x)的极值

定理9(极值的第二判定定理)设函数y=f(x)在点 x0 的某个邻域内一阶可导,在x= x0 处二阶可导,且f  ’(x)=0,f(x)≠0

(1)如果 f ' '(x)>0,则 f(x0) 为函数f(x)的极小值;

(2)如果 f ' '(x)<0,则 f(x0) 为函数f(x)的极大值

例题：