Question

一道高中数学题求解

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Answer 1

烧脑神题啊！！

这个解法也就算是权宜之计，我一直找纯几何解法仍旧无果。还是希望某位大神能提出纯几何正解，才能给此题画上圆满句号。

Answer 2

所证问题等价于证明∠BDF＝30度。（这个分析过程略）

延长BF、DF分别交CD、BC于G、H，连接GH。
根据CE为△BCD的中线知GH∥BD，（这个结论需倍长FE证明，略）
所以∠BGH＝∠DBG＝20度，所以BH＝GH。
作△BGH关于BC的对称图形△BMH，连接DM。
在正△ABC中由对称性知BD＝BG，结合BG＝BM知BD＝BM，结合∠DBM＝60度知△DBM是等边三角形，于是DM＝DB，结合BH＝HG＝HM知△BHD≌△MHD，所以∠BDF＝（1/2）∠BDM＝30度。得证。

追问

第二小题

追答

第1问：连接MF，易证MF平行于NC，于是EMFH是平行四边形，所以EH＝MF，由ANC是等边三角形知AMF也是等边三角形，所以MF＝AF。得证。
第2问等会儿再看。

追问

😄

追答

第1问：连接MF，易证MF平行于NC，于是EMFH是平行四边形，所以EH＝MF，由ANC是等边三角形知AMF也是等边三角形，所以MF＝AF。得证。
第2问：设角BCE＝x，则依次计算出角DAC、角NCA、角NCE、角FNC、角DCN，最后算得ANF＝x，于是M、N、F、C四点共圆。
连接MF，所以角NMF＝角NCF＝角NAC＝角NAB。于是AF＝MF且HEMF是平行四边行。得证。