Question

讨论敛散性

Answer 1

双边无穷积分的定义是：取两个很大的实数M和N，计算从-N到0以及0到M两部分的积分，然后把M和N分别都推向无穷，这两部分的极限都要存在，才说明该积分从负无穷积分到正无穷是收敛的，否则就是不收敛的。

现在令f(x)=x/(1+x^2)。f(x)的不定积分是(1/2)ln(1+x^2)。所以从0积分到正无穷是发散的（因为ln(1+x^2)当x趋向无穷时是发散的）。所以f从负无穷到正无穷的积分就是发散的

Answer 2

设f(x)=x/(1+x²)则
f(-x)=-x/(1+x²)=-f(x)
此函数为奇函数
∴(-∞,+∞)∫x/(1+x²)dx=0

Answer 3

Answer 4

原式=1/2ln(1+x²)|（-∞，+∞）
因为
lim(x->+∞)1/2ln(1+x²)=+∞
所以
该积分是发散的。