Question

幂级数n=1到∞∑x^(2n+2)/2(n+1)!

求和函数S（x）满足的一阶微分方程，和S(x)的表达式

Answer 1

S（x）=∑x^(2n+2)/2(n+1)!
S'（x）=∑x^(2n+1)/(n)!=x∑x^(2n)/(n)!=2x∑x^(2n)/2(n)!=2x(x^2/2+S（x）)
S'=2xS+x^3是S（x）满足的一阶微分方程

解得：S=Ce^(x^2)-(x^2+1)/2
由于S（0）=0 C=1/2
S=[e^(x^2)-(x^2+1)]/2

Answer 2

S(x) = Σ {n=1 ->∞ } x^(2n+2)/2(n+1)!
S'(x) = Σ {n=1 ->∞ } x^(2n+1)/n!
= Σ {n=1 ->∞ } x * [(x^2)^n/n!]
= x[e^(x^2)] - x
再积分：
S(x) = ∫ S'(x) dx= ∫ {x[e^(x^2)] - x} dx
= (1/2) * [e^(x^2) -x^2]

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