Question

若绝对值x+3-绝对值x-4大于a对任意的x都满足，求a的取值范围

答得好加分，具体完整

Answer 1

‍首先此类题目需进行分类讨论
‍绝对值x+3-绝对值x-4大于a对任意的x都满足
令y=|x+3|-|x-4|,本题就是要求y的最小值
当x>4时,y=x+3-x+4=7
当x<-3时,y=-x-3-(4-x)=-x-3-4+x=-7
当-3<x<4时.y=x+3-(4-x)=x+3-4+x=2x-1
又y=2x-1在-3<x<4区间内最小值为y(-3)=2*(-3)-1=-7
综上可得:y=|x+3|-|x-4|,的最小值为y=-7
要满足y=|x+3|-|x-4|恒大于a，就是y=|x+3|-|x-4|的最小值恒大于a
所以a<y=|x+3|-|x-4的最小值，即a<-7
所以a的取值范围为a<-7‍

Answer 2

|x+3|-|x-4|>a
(1)当x>=4时,原式=x+3-(x-4)=7
(2)当-3<x<=4时,原式=x+3+x-4=2x-1>=7
(3)当x<=-3时,原式=-x-3+x-4=-7
所以,|x+3|-|x-4|有最小值是-7,而a<|x+3|-|x-4|对任意X成立,则有a<-7

Answer 3

x《-3时 -7
-3<x<4 2x-1 范围为-7到7
x》4时 7
所以
-7《绝对值x+3-绝对值x-4 《7
所以<-7

Answer 4

两种方法，
1：上面的几何解释就是数轴上一点到点-3的距离减去到点4的距离，这个距离之差最小值是-7，所以a＜-7即可。
2：分类，当x<-3时，可以去绝对值;当-3<=x<=4时去绝对值；当x>4时去绝对值