Question

微积分题目求解，急急急（主要第三小题）

Answer 1

(1)0/0型经常用到的方法有等价无穷小代换，洛必达法则和麦克劳林公式，等价无穷小代换缺点在于精确度不够时无法使用，优点是方便，快速，洛必达法则缺点在于分子和分母必须同时存在导数，而且分子和分母必须得同时满足都是0或者无穷大，优点是快速降阶，麦克劳林公式优点在于适用范围广，缺点是繁琐
（2）罗尔定理：如果函数f(x)在［a,b］连续，在（a,b）可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈（a,b），使得f'(ξ)=0
介值定理：函数f(x)在［a,b］上连续，对于任意介于最大值M和最小值m的函数值η，都至少存在一个ξ∈［a,b］，使得f(ξ)=η
（3）罗尔定理：令f(x)=x^6-x，易知f(0)=f(1)=0，由罗尔定理，得存在ξ∈(0,1)，f'(ξ)=0，而f'(x)=6x^5-1，则6x^5-1=0有实根x=ξ
介值定理：令f(x)=6x^5-1，则f(x)单调递增，在［0,1］上f(x)的最大值M=f(1)=5，最小值m=f(0)=-1，则存在η∈［0,1］，使得-1<f(η)=0<M，则6x^5-1=0有实根x=η

Answer 2

f(x) = 6x^5 - 1
f(0) = -1
f(1) = 5
根据连续函数介质定理，f(c) = 0, 0 < c < 1

Answer 3

设f(x)=6x^5-1
显然f(-1)=-7<0,f(1)=5>0
根据连续函数介值定理,一定存在x0∈(-1,1),使得f(x0)=0
得证.