Question

用夹逼准则求(1+2^n+3^n)^1/n的极限求解的疑问？

正确的解法应该是如下这样的：
“因为3^n＜1+2^n+3^n＜3*3^n=3^(n+1)，
那么(3^n)^(1/n)＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜(3^(n+1))^(1/n)，

即3＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜3^((n+1)/n)。

又因为lim(x→∞)3^((n+1)/n)=3^1=3。

即当n→∞时，3＜lim(x→∞)(1+2^n+3^n)^(1/n)＜3

那么根据夹逼定理可得，lim(x→∞)(1+2^n+3^n)^(1/n)=3。”

====> OK，疑问来了：解答中为什么1+2^n+3^n最小值取是3^n，即“3^n＜1+2^n+3^n”，不可能瞎取这个值吧，根据呢 ？做题的时候是怎么想到取3^n的 ？而不是取1+1+1=3，理论上3不是更小吗？？？还是说，是为了保证和右侧的极限一致，所以才这样取？

Answer 1

实在想不出原因，就用其他方法做出同样的结果：

Answer 2

既然要用夹逼定理，就要有一个上限，一个下限，
为了极限都相等，就要求上限尽可能小，而下限尽可能大。
不是说下限越小越好，这样会使极限不一样，无法达到夹逼定理的条件。
比如用 2^n < 1+2^n+3^n ，开 n 次方后左边极限成了 2 。
另外，还要尽可能便于计算极限，总不能用 1+1.5^n+3^n<1+2^n+3^n 吧，这样等于什么都没做。

追问

那是不是要根据上限或者下限中的一个，先来确定好极限值，比如1+2^n+3^n中，当所有项都取3^n时显然是最大值，此时得到确定的上限极限是3，所以为了保证下限极限也是3，因此才取3^n ？

追答

是的。要保证 an<bn<cn 中的 an、bn、cn 极限存在且相等

追问

明白了，谢谢。

Answer 3

夹逼定理要求上限、下限的极限存在且相等，本例中，如果下限取 3，那么开 n 次方后极限为 1，与上限的极限 3 不等，无法用夹逼定理。下限取 3^n，开 n 次方后极限为 3，与上限极限相等，由此可知原极限为

Answer 4

3^n<1+2^n+3^n < 3.3^(n)
(3^n)^(1/n)<(1+2^n+3^n)^(1/n) < (3.3^(n))^(1/n)
lim(n->无穷) (3^n)^(1/n)=3
lim(n->无穷) (3(3^n))^(1/n)=3
=>lim(n->无穷) (1+2^n+3^n)^(1/n) =3

Answer 5

是我的话，我想到的是stolz