Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m＜n)

1. 若m=-1 n=2求不等式F(x)＞0解集
2. 若a＞0且0＜x＜m＜n＜1/a 比较f(x)与m的大小
要详细解释 由韦达定理怎么得的

Answer 1

F(x)=ax^2+bx+c-x=ax^2+(b-1)x+c有两个零点m-1，n=2，代入就有：
a-(b-1)+c=0 ===> a-b+c=-1
4a+2(b-1)+c=0 ===> 4a+2b+c=2
两式相减得到：3a+3b=3
所以，a+b=1
所以，b=1-a
则，c=-1-a+b=-1-a+1-a=-2a
所以，F(x)=ax^2-ax-2a=a*(x^2-x-2)=a*(x+1)(x-2)
所以：对于F(x)＞0
①当a＞0时：===> (x+1)(x-2)＞0
则，x＞2，或者x＜-1
②当a＜0时；===> (x+1)(x-2)＜0 则， -1＜x＜2
所以当则，-1＜x＜2时，F(X)大于02)若a>0,且0<x<m<n<1/a,m为函数F(x)=f(x)-x的零点
则F(x)在(0，m)上一定是单增的
因此：F(x)>m
f(x)>m+x>m