Question

非齐次线性方程组的解的三种情况是什么?

Answer 1

非齐次线性方程组的解的三种情况是只有零解，有非零解，有无穷多解。

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r，把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1,C2……Cn-r，即可写出含n-r个参数的通解。

线性化关系

在例子中（不是特例）变量y是x的函数，而且函数和方程的图像一致。

通常线性方程在实际应用中写作：

y=f(x)。

这里f有如下特性：

f(x+y)=f(x)+f(y)。

f(ax)=af(x)。

这里a不是向量。

一个函数如果满足这样的特性就叫做线性函数，或者更一般的，叫线性化。

因为线性的独特属性，在同类方程中对线性函数的解决有叠加作用。这使得线性方程最容易解决和推演。

Answer 2

非齐次线性方程组的解三种情况分别是无解、有无穷多解、有唯一解。
判别法：
当非齐次线性方程组对应的系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，即r(A)<r(A,b)，此时无解。
当非齐次线性方程组对应的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即r(A)=r(A,b)，此时有解。
有解又可分为以下两种情况：
当非齐次线性方程组对应的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且均小于系数矩阵的列数n，即r(A)=r(A,b)<n，有无穷多解。
当非齐次线性方程组对应的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且均等于系数矩阵的列数n，即r(A)=r(A,b)=n，有唯一解。

Answer 3

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于
，即可写出含n-r个参数的通解。