Question

旋转体体积公式是什么?

Answer 1

旋转体体积公式是V=π∫［a,b]f(x)^2dx。

绕y轴旋转体积公式同理，将x,y互换即可，V=π∫［a,b]φ（y)^2dy。

或许你说的是V=2π∫［a,b]y*f(y)dy,也是绕x轴旋转体积。

旋转体的体积等于上半部分旋转体体积的2倍

V=2∫(0,R)π[(x+b)^2-(-x+b)^2]dy。

=8bπ∫(0,R)xdy。

令x=Rcosa,y=Rsina,(a∈[0,π/2])。

V=8bπ∫(0,π/2)Rcosa*Rcosada。

=4bR^2π∫(0,π/2)(cos2a+1)da。

=4bR^2π[a+sin2a/2]|(0,π/2)。

=4πbR^2(π/2)。

=2bπ^2R^2。

1、dy求积分法

设积分区域是由两条直线x=a，x=b（a<b），两条曲线y=f(x)围成称为X型区域。特点是穿过D内部且平行于y轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。

此时对任意取定的x0∈[a，b]，过（x0，y0）作垂直于x轴的平面x=x0，该平面与曲顶柱体相交所得截面为底，z=f（x0，y)为曲边的曲边梯形，由于x0的任意性，上述曲顶柱体可看成平行截面面积S（x）从a到b求定积分的体积，从而得到dy求法。

2、dx求积分法

设积分区域是由两条直线x=a，x=b（a<b），两条曲线x=f(y)围成称为X型区域。特点是穿过D内部且平行于x轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。

此时对任意取定的y0∈[a，b]，过（x0，y0）作垂直于x轴的平面y=y0，该平面与曲顶柱体相交所得截面为底，z=f（x，yo)为曲边的曲边梯形，由于y0的任意性，上述曲顶柱体可看成平行截面面积S（x）从a到b求定积分的体积，从而得到dx求法。

Answer 2

旋转体体积公式是通过对旋转体的截面面积进行积分来计算旋转体的体积的公式。这个公式适用于将一个平面图形绕一个直线旋转一周形成的旋转体。
假设我们有一个平面图形，它的截面在x轴上的范围是[a,b]，并且在每个x处的截面面积为A(x)。我们想要计算这个图形绕一个直线旋转一周形成的旋转体的体积。
首先，我们将旋转体分成无限个薄片，每个薄片的厚度为dx。然后，我们计算每个薄片的体积，即薄片的面积乘以薄片的厚度。
对于每个薄片，它的面积可以近似地表示为A(x)。因此，薄片的体积可以近似地表示为A(x)乘以dx。
然后，我们将所有薄片的体积相加，即对所有x的范围[a,b]进行积分。这样就得到了旋转体的体积公式：
V = π∫[a,b] A(x)^2 dx其中，V表示旋转体的体积，π表示圆周率，∫表示积分，[a,b]表示旋转体的截面在x轴上的范围，A(x)表示截面在x处的面积。
通过使用这个公式，我们可以计算出旋转体的体积。

Answer 3

旋转体体积公式是用于计算通过将曲线绕某条轴旋转所形成的立体图形的体积的公式。旋转体的体积公式可以根据旋转轴的位置和旋转曲线的方程来确定。
考虑一个平面曲线（通常是一个函数）在一个区间上的图形，我们可以通过将该曲线绕y轴或x轴旋转来创建一个旋转体。以下是两种常见的旋转体体积公式：
1. 绕y轴旋转：
若曲线方程为y = f(x)，x 的范围是 [a, b]，则绕 y 轴旋转产生的旋转体的体积公式是：
V = π * ∫[a,b] f^2(x) dx
在这个公式中，f(x)表示曲线在y轴上对应点的x轴坐标。通过计算曲线与旋转轴之间的距离的平方，然后对该平方距离沿x轴进行积分，得到旋转体的体积。
2. 绕x轴旋转：
若曲线方程为x = g(y)，y 的范围是 [c, d]，则绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积公式是：
V = π * ∫[c,d] g^2(y) dy
在这个公式中，g(y)表示曲线在x轴上对应点的y轴坐标。通过计算曲线与旋转轴之间的距离的平方，然后对该平方距离沿y轴进行积分，得到旋转体的体积。
这些公式可以用于计算各种曲线的旋转体体积，例如圆、抛物线等。然而，需要注意的是，旋转体的体积公式仅适用于旋转轴是在直角坐标系中的x轴或y轴上。对于其他位置的旋转轴，需要使用其他的体积公式进行计算。

Answer 4

旋转体的体积可以通过一系列的公式来计算, 具体取决于旋转体的形状和旋转的轴线。这里列出几种常见情况的公式：

1. 圆柱体：
R为底面半径，h为高，体积 V = π * R^2 * h

2. 圆锥体：
R为底面半径，h为高，体积 V = 1/3 * π * R^2 * h

3. 球体：
R为半径，体积 V = 4/3 * π * R^3

4. 通过旋转得到的体：
关于x轴（形状由函数f(x)定义，旋转区间为[a,b]），体积 V = π * ∫ [from a to b] (f(x))^2 dx
关于y轴（形状由函数f(y)定义，旋转区间为[c,d]），体积 V = 2π * ∫ [from c to d] y*f(y) dy

Answer 5

旋转体体积公式是V=π∫［a,b]f(x)^2dx。

绕y轴旋转体积公式同理，将x,y互换即可，V=π∫［a,b]φ（y)^2dy。

或许你说的是V=2π∫［a,b]y*f(y)dy,也是绕x轴旋转体积。

旋转体的体积等于上半部分旋转体体积的2倍

V=2∫(0,R)π[(x+b)^2-(-x+b)^2]dy。

=8bπ∫(0,R)xdy。

令x=Rcosa,y=Rsina,(a∈[0,π/2])。

V=8bπ∫(0,π/2)Rcosa*Rcosada。

=4bR^2π∫(0,π/2)(cos2a+1)da。

=4bR^2π[a+sin2a/2]|(0,π/2)。

=4πbR^2(π/2)。

=2bπ^2R^2。