Question

​对于x∈R,不等式(a-2)x^2-2(a-2)x-4≤0恒成立,则a的取值范围是______

当a-2=0时，-4≤0恒成立，可取a=2
当a-2≠0时，Δ<0

Δ=(a-2)²-8(a-2)*-4
=a²-4a+4+32(a-2)
=a²-4a+4+32a-64
=a²+28a-60<0
=(a-2)(a+30)<0
a∈(-30,2]
当不等式大于0且Δ<0时，x取任何值都成立，即x∈R
当不等式小于0且Δ<0时，x取任何值都不成立，即x∉R
当不等式等于0且Δ<0时，x不存在
可是这里写的是不等式≤0，此时x∈R不成立啊，怎么解呢？

Answer 1

答：
(a-2)x²-2(a-2)x-4<=0
(a-2)(x-1)²-4-(a-2)<=0
(a-2)(x-1)²-a-2<=0
当a-2=0即a=2时，不等式为-2-2=-4<0恒成立，符合题意；
当a-2>0时，抛物线开口顷慧向上，必定存在x使得抛物线图像在x轴上方，故不成立；

当a-2<0即a<2时，雀裤答抛物线开口纯氏向下，抛物线的图像不在x轴上方，与x轴仅有个交点，
所以：-a-2<=0，解得：-2<=a<2
或者用判别式△=4(a-2)²+4*4(a-2)<=0，(a-2)(a-2+4)<=0，-2<=a<2

综上所述：-2<=a<=2

追问

当a-2<0即a<2时，抛物线开口向下，抛物线的图像不在x轴上方，与x轴仅有个交点，
所以：-a-2<=0

a-2<0，a<2成立，
-a-2≤0根据什么来的？

追答

根据抛物线的最大值来的：(a-2)(x-1)²-a-2<=0

因为a-2<0时，抛物线的开口向下，最大值在对称轴处取得即顶点（1，-a-2）
顶点的纵坐标是抛物线上最高的点，所以：-a-2<=0

追问

如果用判别式来解

为什么判别式小于等于0？
当判别式小于0时x∈R不成立啊。。。。

追答

判别式小于0，说明方程(a-2)x²-2(a-2)x-4=0无解，与x轴就是没有交点。

抛物线的图像要么恒在x轴上方，要么恒在x轴下方。
这样才能保证不等式恒大于0或者恒小于0，刚好是成立的，不是不成立。

判别式等于0，说明方程(a-2)x²-2(a-2)x-4=0与x轴仅有一个交点，即顶点在x轴上。

Answer 2

你的解法有错;
解：①当a-2=0时，-4≤0∴成立
②当a-2≠0时，∵x∈R 成立
∴a-2<0且⊿≤0∴a∈[-30,2)
∴综上，a∈枝亮槐[-30,2]
----------------------------------仔细体会
ax²+bx+c>0，且⊿<0。.分①a>0时，开口向猛友上，x∈R②a<0时，开口向下，x无解
ax²+bx+c<0，且⊿﹤0.。①a>0时，x无解②a<键让0时，x∈R
ax²+bx+c=0，且⊿﹤0.。a≠0时，x无解

Answer 3

当a-2=0时，-4≤0恒成立，可取a=2；
当困败a-2>0时不等式不能恒成立粗樱；
当a-2<0时岩尺丛，
Δ/4=(a-2)²+4(a-2)
=(a-2)(a+2)<0,
-2<a<2,
综上，-2<a<=2,为所求.

追问

为什么当a-2>0时不等式不能恒成立；

为什么当a-2>0时不等式不能恒成立；

追答

a-2>0时抛物线y=(a-2)x^2-2(a-2)x-4开口向上。