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令x＝atanu，则：dx＝a［1/（cosu）^2］du，
∴∫［1/√（x^2＋a^2）］dx
＝（1/a）∫｛1/√［（tanu）^2＋1］｝·a［1/（cosu）^2］du
＝∫cosu［1/（cosu）^2］du
＝∫｛1/［1－（sinu）^2］｝d（sinu）
＝（1/2）∫［1/（1＋sinu）＋1/（1－sinu）］d（sinu）
＝（1/2）∫［1/（1＋sinu）］d（1＋sinu）－（1/2）∫［1/（1－sinu）］d（1－sinu）
＝（1/2）ln（1＋sinu）－（1/2）ln（1－sinu）＋C
＝（1/2）ln［（1＋sinu）/（1－sinu）］＋C
＝（1/2）ln［（1＋sinu）/cosu］^2＋C
＝ln［（1＋sinu）/cosu］＋C
＝ln（tanu＋1/cosu）＋C
＝ln｛x/a＋√［（tanu）^2＋1］｝＋C
＝ln｛x/a＋√［（x/a）^2＋1］｝＋C
＝arsh（x/a）＋C。
∴∫［1/√（x^2＋a^2）］dx
＝（1/a）∫｛1/√［（tanu）^2＋1］｝·a［1/（cosu）^2］du
＝∫cosu［1/（cosu）^2］du
＝∫｛1/［1－（sinu）^2］｝d（sinu）
＝（1/2）∫［1/（1＋sinu）＋1/（1－sinu）］d（sinu）
＝（1/2）∫［1/（1＋sinu）］d（1＋sinu）－（1/2）∫［1/（1－sinu）］d（1－sinu）
＝（1/2）ln（1＋sinu）－（1/2）ln（1－sinu）＋C
＝（1/2）ln［（1＋sinu）/（1－sinu）］＋C
＝（1/2）ln［（1＋sinu）/cosu］^2＋C
＝ln［（1＋sinu）/cosu］＋C
＝ln（tanu＋1/cosu）＋C
＝ln｛x/a＋√［（tanu）^2＋1］｝＋C
＝ln｛x/a＋√［（x/a）^2＋1］｝＋C
＝arsh（x/a）＋C。
追问
＝（1/2）ln［（1＋sinu）/（1－sinu）］＋C
＝（1/2）ln［（1＋sinu）/cosu］^2＋C
这是怎么等起来的？
追答
（1＋sinu）/（1－sinu）
＝（1＋sinu）^2/［（1－sinu）（1＋sinu）］
＝（1＋sinu）^2/［1－（sinu）^2］
＝（1＋sinu）^2/（cosu）^2
＝［（1＋sinu）/cosu］^2
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