Question

数列{an}满足a1=3,a(n+1)+an=2n+5,求an的表达式

Answer 1

an+an-1=2n+3
an-1+an-2=2n+1
an-2+an-3=2n-1
............
a3+a2=9
a2+a1=7
a1=3.
an+an-1-（an-1+an-2）+an-2+an-3-（....）.......+a3+a2-（a2+a1）+a1=an
=（2n+3+2n-1+2n-5+....+9）-（2n+1+2n-3+2n-7+.....+7）+3
=n+2.
综上，{an}的通项为n+2.
不是很确定，你最好再验算一下。

Answer 2

　　a(n+1)+an=2n+5
　　a(n+1)=-an+2n+5a(n+1)-（n+1)=-an+n+4a(n+1)-（n+1)-2=-an+n+2=-(an-n-2)
　　即[a(n+1)-（n+1)-2]/[an-n-2]=-1a2=7-a1=4
　　得{a(n+1)-(n+1)-2}为以4为首项，公比为-1的等比数列
　　a(n+1)-(n+1)-2=4*(-1)^n
　　则a(n+1)=(-1)^n*4+n+3
　　所以：an=(-1)^(n-1)*4+n+2
　　　　当n=1,2时也满足条件。
　　故an=(-1)^(n-1)*4+n+2

Answer 3

解：构造数列即可。

令a(n+1)+x(n+1)+y=-(an+xn+y)
化简得a(n+1)+an=-2xn-x-2y
系数对比得-2x=2,-x-2y=5 则x=-1,y=-2
故a(n+1)-（n+1)-2=-(an-n-2)
则{an-n-2}是首项为a1-1-2=0 公比为-1的等比数列
故an-n-2=0*(-1)^(n-1)=0
则an=n+2

追问

额，第一步就没看懂

追答

因为2n+5是一个一次函数，故考虑两边都加一个一次函数的形式
左边是x(n+1)+y (其实可能写成a(n+1)+b 更容易理解吧，其实都一样）
右边xn+y
自己慢慢琢磨一下吧。
其实大部分求通项公式都通过系数对比的方法来构造数列的。
根据其特点设即可。
比如a(n+1)=2an+3
可以设为a(n+1)+p=2(an+p) (常数型）
再如 a(n+1)=3an+2^n
可以设为a(n+1）+a*2^(n+1)=3(an+a*2^n) （指数型）
而你给的这道题是什么型呢？（一次函数型）
发现规律没？根据类型来设即可。
已经说得够多的了，就不再废话的。
慢慢琢磨吧