Question

已知某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．

例如知道三个解:y1=xe^x,,,,,y2=xe^x+e^-x,,,,y3=xe^x+e^2x-e^-x

Answer 1

y''-y'-2y=e^x-2xe^x。

某二阶线性非齐次微分方程的三个解:

y1=xe^x,,,,,y2=xe^x+e^-x,,,,y3=xe^x+e^2x-e^-x

那么y2-y1=e^-x,y3-y2=e^2x是二阶线性齐次微分方程的两个解:，故二阶线性齐次微分方程的特解C1e^-x+C2e^2x，-1,2是特征根，二阶线性齐次微分方程为：y''-y'-2y=0

设y''-y'-2y=f(x),y1=xe^x是解，代入得：

f(x)=2e^x+xe^x-xe^x-e^x-2xe^x=e^x-2xe^x

所求非齐次微分方程：y''-y'-2y=e^x-2xe^x

简介

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。

物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

Answer 2

某二阶线性非齐次微分方程的三个解:
y1=xe^x,,,,,y2=xe^x+e^-x,,,,y3=xe^x+e^2x-e^-x

那么y2-y1=e^-x,y3-y2=e^2x是二阶线性齐次微分方程的两个解:，故二阶线性齐次微分方程的特解C1e^-x+C2e^2x，-1,2是特征根，二阶线性齐次微分方程为：y''-y'-2y=0
设y''-y'-2y=f(x),y1=xe^x是解，代入得：
f(x)=2e^x+xe^x-xe^x-e^x-2xe^x=e^x-2xe^x
所求非齐次微分方程：y''-y'-2y=e^x-2xe^x