Question

∫(2π,0) sinnx sinmxdx=，，， ∫(2π,0) cosnx cosmxdx=，

∫(2π,0) sinnx sinmxdx=，，，
∫(2π,0) cosnx cosmxdx=，，，
∫(2π,0) sinnx cosmxdx=，，，
如何证明 公式详见图片

Answer 1

结果分别为：0，0。

解题过程如下：

∫(2π,0) sinnx sinmxdx

= (1/2) * ∫(2π,0) [ cos( m-n)x - cos( m+n)x ] dx

= (1/2) * (2π,0) [ sin( m-n)x /(m-n) - sin( m+n)x /(m+n) ] 

= 0

∫(2π,0) cosnx cosmxdx

= (1/2) * ∫(2π,0) [ cos( m-n)x + cos( m+n)x ] dx

= (1/2) * (2π,0) [ sin( m-n)x /(m-n) + sin( m+n)x /(m+n) ]

= 0

勒贝格积分

勒贝格积分的出现源于概率论等理论中对更为不规则的函数的处理需要。黎曼积分无法处理这些函数的积分问题。因此，需要更为广义上的积分概念，使得更多的函数能够定义积分。

同时，对于黎曼可积的函数，新积分的定义不应当与之冲突。勒贝格积分就是这样的一种积分。 黎曼积分对初等函数和分段连续的函数定义了积分的概念，勒贝格积分则将积分的定义推广到测度空间里。

Answer 2

结果分别为：0，0

解题过程如下：

∫(2π,0) sinnx sinmxdx

= (1/2) * ∫(2π,0) [ cos( m-n)x - cos( m+n)x ] dx

= (1/2) * (2π,0) [ sin( m-n)x /(m-n) - sin( m+n)x /(m+n) ] 

= 0

∫(2π,0) cosnx cosmxdx

= (1/2) * ∫(2π,0) [ cos( m-n)x + cos( m+n)x ] dx

= (1/2) * (2π,0) [ sin( m-n)x /(m-n) + sin( m+n)x /(m+n) ]

= 0

扩展资料

求函数积分的方法：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对  中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

积分公式：

Answer 3

证明：
∫(2π,0) sinnx sinmxdx=，，，
∫(2π,0) cosnx cosmxdx=，，，
∫(2π,0) sinnx cosmxdx=，，，

当 m ≠ n 时，
∫(2π,0) sinnx sinmxdx= = (1/2) * ∫(2π,0) [ cos( m-n)x - cos( m+n)x ] dx
= (1/2) * (2π,0) [ sin( m-n)x /(m-n) - sin( m+n)x /(m+n) ] = 0
∫(2π,0) cosnx cosmxdx= (1/2) * ∫(2π,0) [ cos( m-n)x + cos( m+n)x ] dx
= (1/2) * (2π,0) [ sin( m-n)x /(m-n) + sin( m+n)x /(m+n) ] = 0
∫(2π,0) sinnx cosmxdx= = (1/2) * ∫(2π,0) [ -sin( m-n)x + sin( m+n)x ] dx
= (1/2) * (2π,0) [ sin( m-n)x /(m-n) - sin( m+n)x /(m+n) ] = 0

追问

∫(2π,0) sinnx sinmxdx=∫（π，-π）sinnxsimxdx。 在图片上，这一步是怎么来的呢？

追答

令 x = π + u

Answer 4

这些函数彼此是正交的，记住就好了

Answer 5

证明：

当 m ≠ n 时，

∫(2π,0) sinnx sinmxdx= = (1/2) * ∫(2π,0) [ cos( m-n)x - cos( m+n)x ] dx

= (1/2) * (2π,0) [ sin( m-n)x /(m-n) - sin( m+n)x /(m+n) ] = 0

∫(2π,0) cosnx cosmxdx= (1/2) * ∫(2π,0) [ cos( m-n)x + cos( m+n)x ] dx

= (1/2) * (2π,0) [ sin( m-n)x /(m-n) + sin( m+n)x /(m+n) ] = 0

∫(2π,0) sinnx cosmxdx= = (1/2) * ∫(2π,0) [ -sin( m-n)x + sin( m+n)x ] dx

= (1/2) * (2π,0) [ sin( m-n)x /(m-n) - sin( m+n)x /(m+n) ] = 0

扩展资料：

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。

参考资料来源：百度百科-积分