Question

如何证明向量组s的秩为r,那么任意r+1个向量一定线性？

Answer 1

证明向量组s的秩为r，那么任意r+1个向量一定线性。

证：设a1，a2，ar是向量组中r个线性无关的向量则对原向量组中任一向量b，b必能由a1，a2，ar线性表示。

否则a1，a2，ar，b线性无关，与原向量组秩为r矛盾所以根据极大为浓躲切艽迫娥侔翻态无关组的定义，a1，a2，ar是一个极大无关组。

矩阵的秩

有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。