Question

高阶微分为什么不具备形式的不变性?

Answer 1

高阶微分不具备形式的不变性：

一阶微分不变性：dy=f'（u）du=f'（u）g'（x）dx

如果是y求关于x的二阶导数

即：d^2y/（dx）^2

=f''（u）（du/dx）^2+f'（u）d（du/dx）/dx

如果u=g（x）

原式=f''（u）（g'（x））^2+f'（u）g''（x）

=y''u'^2+y'u''

如果u=g（z），那么du/dx=0

原式=0

证明：

令u=g（x）

则f（u）=f（g（x））

则f（u1）=f（g（x1））

f（u2）=f（g（x2））

则f（u1）-f（u2）=f（g（x1））-f（g（x2））

则f'（u）du=f'（g（x））dx

又du/dx=g'（x）（du=x引起g（x）的微小变化）

则f'（u）*g'（x）=f'（g（x））